Арифметический квадратный корень (8 класс)

Наши дни

С точки зрения математики, квадратный корень из числа y — это такое число z, квадрат которого равен y. Иными словами, z2=y равносильно √y=z. Однако данное определение актуально лишь для арифметического корня, так как оно подразумевает неотрицательное значение выражения. Иными словами, √y=z, где z больше либо равно 0.

В общем случае, что действует для определения алгебраического корня, значение выражения может быть как положительным, так и отрицательным. Таким образом, в силу того, что z2=y и (-z)2=y, имеем: √y=±z или √y=|z|.

Благодаря тому, что любовь к математике с развитием науки лишь возросла, существуют разнообразные проявления привязанности к ней, не выраженные в сухих вычислениях. Например, наравне с такими занятными явлениями, как день числа Пи, отмечаются и праздники корня квадратного. Отмечаются они девять раз в сто лет, и определяются по следующему принципу: числа, которые обозначают по порядку день и месяц, должна быть корнем квадратным из года. Так, в следующий раз предстоит отмечать сей праздник 4 апреля 2016 года.

Извлечение квадратного корня при помощи таблицы квадратов

Один из простейших способов вычисления корней заключается в использовании специальной таблицы. Что же она собой представляет и как ей правильно воспользоваться?

При помощи таблицы можно найти квадрат любого числа от 10 до 99. При этом в строках таблицы находятся значения десятков, в столбах — значения единиц. Ячейка на пересечении строки и столбца содержит в себе квадрат двузначного числа. Для того чтобы вычислить квадрат 63, нужно найти строку со значением 6 и столбец со значением 3. На пересечении обнаружим ячейку с числом 3969.

Поскольку извлечение корня — это операция, обратная возведению в квадрат, для выполнения этого действия необходимо поступить наоборот: вначале найти ячейку с числом, радикал которого нужно посчитать, затем по значениям столбика и строки определить ответ. В качестве примера рассмотрим вычисление квадратного корня 169.

Находим ячейку с этим числом в таблице, по горизонтали определяем десятки — 1, по вертикали находим единицы — 3. Ответ: √169 = 13.

Аналогично можно вычислять корни кубической и n-ой степени, используя соответствующие таблицы.

Преимуществом способа является его простота и отсутствие дополнительных вычислений. Недостатки же очевидны: метод можно использовать только для ограниченного диапазона чисел (число, для которого находится корень, должно быть в промежутке от 100 до 9801). Кроме того, он не подойдёт, если заданного числа нет в таблице.

Второй способ: Применение логарифмической функции

Если вы хотите узнать корень из числа 27, вы можете воспользоваться логарифмической функцией. Логарифмическая функция позволяет найти значение показателя степени, при котором основание возведено в эту степень равно числу.

Применение логарифмической функции для расчета корня из 27 может быть осуществлено следующим образом:

Шаг	Действие	Результат
1	Воспользуйтесь формулой для нахождения логарифма:
	тогда и только тогда, когда .
2	Задайте основание логарифма. Для нахождения корня из 27 может быть использовано основание 3, так как .
3	Воспользуйтесь формулой для нахождения значения показателя степени:

4	Вычислите значение логарифма:
	, так как .

Таким образом, корнем из числа 27 является число 3.

Применение логарифмической функции позволяет узнать значение показателя степени, при котором основание возведено в эту степень равно заданному числу. Этот способ является универсальным для нахождения корня любого числа.

Четвертый способ: Применение математической формулы

Существует математическая формула для расчета корня любой степени из числа. Для нахождения корня из 27 можно воспользоваться формулой:

sqrt(27) = 27^(1/2)

Данная формула позволяет получить результат без необходимости выполнять последовательные умножения и деления.

Для вычисления результата можно воспользоваться калькулятором или программой для математических расчетов на компьютере или смартфоне. Вставьте число 27 в формулу и выполните расчет по указанной формуле.

В результате получите корень из 27, который равен примерно 5.196152423.

Примечание: важно учесть, что при использовании данного способа окончательный результат может содержать бесконечное количество десятичных знаков

Определение квадратного корня

Арифметический квадратный корень из числа a – это такое число x , которое при возведении в квадрат (или другими словами во вторую степень) дает число a .

Квадратный корень (иногда также называют корнем второй степени) обозначается специальным знаком – √ . Например √ 4 , читается как “квадратный корень из четырех”.

Другой вид записи –. Но цифру 2 обычно опускают, подразумевая именно ее.

Подкоренное выражение для примера выше – это 4. Однако оно может быть представлено не только числом, но и и математическим выражением, содержащим как буквы, так и цифры. Например, .

Вычисление значения x называется извлечением квадратного корня из числа a (является обратным возведению в квадрат действием):

√ 4 = 2
√ 9 = 3
√ 16 = 4
√ 25 = 5

Извлекать квадратный корень можно только из положительного числа. При этом ответ ( x ), также, всегда будет больше нуля.

Примечание:

Для удобства можно выучить или всегда иметь под рукой таблицу квадратов чисел, хотя бы до 10-20.

Сравнение корней

Зачем нам учиться сравнивать числа, содержащие квадратный корень?

Очень просто. Часто, в больших и длиииинных выражениях, встречающихся на экзамене, мы получаем иррациональный ответ (помнишь, что это такое? Мы с тобой сегодня об этом уже говорили!)

Полученные ответы нам необходимо расположить на координатной прямой, например, чтобы определить, какой интервал подходит для решения уравнения. И вот здесь возникает загвоздка: калькулятора на экзамене нет, а без него как представить какое число больше, а какое меньше? То-то и оно!

Например, определи, что больше: \( \displaystyle 3\sqrt{7}\) или \( \displaystyle 2\sqrt{17}\)?

Сходу и не скажешь. Ну что, воспользуемся разобранным свойством внесения числа под знак корня?

Тогда вперед:

Ну и, очевидно, что чем больше число под знаком корня, тем больше сам корень!

Т.е. если \( \displaystyle 68>63\), значит, \( \displaystyle \sqrt{68}>\sqrt{63}\).

Отсюда твердо делаем вывод, что \( \displaystyle 3\sqrt{7}<2\sqrt{17}\).

Свойства арифметического квадратного корня

Пользоваться онлайн-калькулятором будет проще, если сначала упростить выражение, привести в удобный для вычисления вид. Чтобы преобразовать подкоренное значение, стоит воспользоваться правилами умножения, деления корней, возведение их в степень. Свойства корней стоит вызубрить, их всего три. Каждое рассмотрено ниже отдельно. Решение корней онлайн упрощается после математических преобразований подкоренного значения или выражения. Для этого достаточно знаний арифметики и азов алгебры.

Умножение корней

Если произведение подкоренного выражения можно представить в виде двух множителей, достаточно перемножить корни, извлеченные из этих множителей: допустим, под корнем стоит число 576. Преобразуем его в два множителя: 64 и 9. Затем извлекаем корень из 64, он равен 8, подобную процедуру проводим со вторым из множителей. Квадратный корень из девяти равен 3. Осталось найти результат: 8х3=24. Корень 576 равен 24.

Формулой свойство изображается так:

Раскладывая подкоренное значение на множители, можно значительно упростить процесс вычисления квадратных корней.

Деление корней

Следующее свойство удобно для извлечения корней из дробных чисел. Когда подкоренное выражение представлено в виде дроби, следует воспользоваться правилом деления. Проще запомнить это свойство по формуле:

Обратная формула трактуется следующим образом: корень из частного равен частному корней.

Допустим, нужно извлечь квадратный корень из дроби 25/144. Для этого необходимо извлечь корень из 25, это 5. Затем подобную манипуляцию произвести с делителем дроби: корень 144 равен двенадцати. После извлечения корня из 25/144 получаем дробь 5/8. Если корень необходимо вычислить из десятичной дроби, нужно представить ее в виде натуральной. Например, 0,64 это 64/100. В результате получаем 8/10 или 0,8. Все довольно просто. Если из делимого или делителя корень не извлекается, при решении примеров или задач его оставляют под знаком корня.

Возведение в степень

Последнее свойство корней – это возведение его в степень. Тут все просто: достаточно перенести степень под корень, подставить к подкоренному выражению.

При возведении подкоренного числа в квадрат с последующим извлечением квадратного корня получаем первоначальное подкоренное выражение. На слух выражение воспринимается сложно. Проще усвоить формулу:

Из формулы видно, что этим свойством удобно пользоваться при возведении квадратного корня в четную степень, ее можно сразу делить на два и убирать знак корня. Как всегда, пример: чтобы возвести в шестую степень квадратный корень числа 3, необходимо возвести число 3 в куб, степенной показатель 6 поделить пополам.

Извлечение квадратного корня из любого данного числа с любым заданным числом десятичных знаков

Способ извлечения квадратного корня, изложенный в § 5 и 6, применялся там только к числам, заключенным между 1 и 100, т. е. к числам с однозначной или двузначной целой частью. Однако этот способ легко распространяется на любые положительные числа, целые или заданные десятичной дробью. Это следует из того, что при умножении подкоренного числа на 100 корень увеличивается в 10 раз, а при делении подкоренного числа на 100 корень уменьшается в 10 раз.

Действительно, если то

так как а

ибо

Умножение или деление на 100 равносильно перенесению запятой на два разряда вправо или влево. Умножение или деление на 10 равносильно перенесению запятой на один разряд. Повторное умножение или деление на 100 равносильно перенесению запятой на четное число урядов. Очевидно, что за счет такого перенесения запятой в подкоренном числе можно добиться того, чтобы целая часть нового подкоренного числа оказалась однозначным или двузначным числом.

К этому числу можно применить указанный прием для извлечения квадратного корня. Чтобы получить корень из исходного числа, нужно в полученном корне перенести запятую в обратном направлении на вдвое меньшее число разрядов.

Например, чтобы извлечь корень мы сначала перенесем запятую на два разряда вправо. мы вычислили; он равен 9,61 (с точностью до 0,01). Следовательно, (с точностью до 0,001).

Сформулируем теперь общее правило для извлечения корня из данного числа с данным числом десятичных знаков, обобщив в этом правиле все высказанные выше соображения.

Правило. Чтобы извлечь квадратный корень из данного положительного целого или записанного в виде десятичной дроби числа с, данной точностью, нужно:

Целая часть, вычисляемая в п. 5 правила, может оказаться больше 9 только на первом шагу вычислений, т. е. при вычислении второй цифры.

Записать это число под знаком квадратного корня и разбить его цифры на «грани» по две цифры в каждой, начиная от запятой, вправо и влево. Если требуется вычислить корень с точностью до 1, то грани, расположенные направо от запятой, можно отбросить. Если требуется вычислить корень с точностью до 0,1, следует справа от запятой сохранить одну грань, при вычислении с точностью до 0,01 оставить две грани и т. д. Если при этом окажется, что цифр для заполнения нужного числа граней не хватает, приписать надлежащее количество нулей.
Извлечь корень из старшей грани с точностью до 1, с недостатком (или точно, если это возможно). Полученное число принять за первую цифру искомого корня.
Из старшей грани вычесть квадрат первой цифры и к полученной разности приписать вторую грань. Слева от полуденного результата провести вертикальную черту.
Слева от черты записать удвоенную первую цифру.
Найти целую часть частного от деления числа десятков первой разности на число, записанное слева. Если полученное число окажется больше 10, заменить числом 9.
Полученное однозначное число подвергнуть следующему испытанию: приписать его в качестве цифры к числу, записанному слева, получившееся число умножить на испытуемое однозначное число и сравнить произведение с разностью, записанной справа от черты. Если это произведение больше указанной разности, уменьшить испытуемое число на одну единицу и вновь подвергнуть испытанию.
Если после испытания произведение окажется меньше указанной разности, подписать его под ней и вычесть. Испытанное однозначное число принять за вторую цифру корня.
К вновь полученной разности приписать следующую грань и определить третью цифру тем же приемом, каким била определена вторая цифра.
Продолжать аналогичные вычисления до тех пор, пока не будет достигнута требуемая точность.
Запятую в результате нужно поставить после того, как будут исчерпаны грани, предшествующие запятой в подкоренном числе.

Отрицательный результат испытания в п. 6 правила довольно часто имеет место на первом шагу вычислений, когда поправка еще не очень мала, по сравнению с первым приближением. На дальнейших шагах вычислений отрицательный результат испытания получается крайне редко.

Если подкоренное число имеет 0 целых и вслед затем следует нуль, корень имеет тоже 0 целых и затем столько нулей, сколько граней из нулей следует за запятой в подкоренном числе. Первая значащая цифра корня есть целая часть корня из первой значащей грани подкоренного числа.

Свойства арифметического квадратного корня

Теперь ты знаешь, как извлекать корни и пришло время узнать о свойствах арифметического квадратного корня. Их всего 3:

умножение;
деление;
возведение в степень.

Их ну просто очень легко запомнить с помощью этой таблицы и, конечно же, тренировки:

СВОЙСТВО	ПРИМЕР
Корень произведения равен произведению корней: \( \displaystyle \sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}\)	\( \displaystyle \sqrt{64\cdot 9}=\sqrt{64}\cdot \sqrt{9}=8\cdot 3=24\)
Корень из дроби — это корень из числителя и корень из знаменателя: \( \displaystyle \sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\), если \( \displaystyle a\ge 0\ ,\ b > 0\)	\( \displaystyle \sqrt{\frac{64}{9}}=\frac{\sqrt{64}}{\sqrt{9}}=\frac{8}{3}=2\frac{2}{3}\)
Чтобы возвести корень в степень, достаточно возвести в эту степень подкоренное значение: \( \displaystyle {{\left( \sqrt{a} \right)}^{n}}={{\left( \sqrt{{{a}^{n}}} \right)}^{{}}}\), при \( \displaystyle a\ge 0\)	\( \displaystyle {{\left( \sqrt{2} \right)}^{4}}=\sqrt{{{2}^{4}}}=\sqrt{16}=4\)

Финальные вычисления

Итак, у нас осталось 2 числа-кандидата. Как узнать, какое из них является корнем? Ответ очевиден: возвести оба числа в квадрат. То, которое в квадрате даст исходное число, и будет корнем.

Например, для числа 3364 мы нашли два числа-кандидата: 52 и 58. Возведем их в квадрат:

52 2 = (50 +2) 2 = 2500 + 2 · 50 · 2 + 4 = 2704;58 2 = (60 − 2) 2 = 3600 − 2 · 60 · 2 + 4 = 3364.

Вот и все! Получилось, что корень равен 58! При этом, чтобы упростить вычисления, я воспользовался формулой квадратов суммы и разности. Благодаря чему даже не пришлось умножать числа в столбик! Это еще один уровень оптимизации вычислений, но, разумеется, совершенно не обязательный:)

Корень из 27: как его вычислить?

Корень квадратный из числа 27 составляет одно из основных математических понятий. Понимание процесса вычисления корня может быть полезно для решения различных задач. Как же вычислить корень из 27?

Существует несколько способов вычисления корня из числа 27:

1. Метод деления пополам:

Можно выбрать начальное приближение и с помощью итераций прийти к приближенному значению корня. Начнем с двух чисел — 1 и 27. Определим среднее арифметическое этих двух чисел: (1 + 27) / 2 = 14.

Если 14^2 = 196, то это число слишком большое. Значит, корень из 27 находится между 1 и 14.

Теперь выберем новое начальное приближение, теперь это будет 1 и 14. Найдем среднее арифметическое: (1 + 14) / 2 = 7.5.

Если 7.5^2 = 56.25, то это число слишком маленькое. Значит, корень из 27 находится между 7.5 и 14.

Продолжая этот процесс, можно прийти к значениям, которые будут все ближе к истинному корню из 27.

2. Метод итераций:

Очень популярный метод для вычисления корня из числа 27. Итеративно уточняем значение корня путем расчета среднего значения между значением корня и числом 27.

Начнем с выбранного начального приближения — 1. Подставим его в формулу: (1 + 27 / 1) / 2 = 14.

Теперь подставим 14 вместо первоначального числа: (14 + 27 / 14) / 2 = 7.821.

Продолжая процесс итераций, можно получить все более точное значение корня из 27.

3. Использование калькулятора или компьютера:

Если точность не является первоочередной задачей, можно использовать калькулятор или встроенные функции в программном обеспечении для вычисления корня из 27. Но не забывайте, что приближенные значения могут быть округлены или округлены до определенного числа знаков после запятой.

Использование вышеперечисленных методов позволяет получить приближенное значение корня из 27. Чтобы достичь более высокой степени точности, необходимо повторить процесс итераций или использовать другой метод вычисления корня.

Главное свойство корня

Как известно, в математике у любого действия есть обратное. У сложения – вычитание, у умножения – деление. Обратное действие возведению в квадрат — извлечение квадратного корня. Поэтому эти действия компенсируют друг друга:

\((\sqrt{a})^2=a\)

Это и есть главное свойства корня, которое чаще всего используется (в том числе и в ОГЭ)

Пример. (задание из ОГЭ). Найдите значение выражения \(\frac{(2\sqrt{6})^2}{36}\)

Решение: \(\frac{(2\sqrt{6})^2}{36}=\frac{4 \cdot (\sqrt{6})^2}{36}=\frac{4 \cdot 6}{36}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\)

Пример

Решение:

\((\sqrt{85}-1)^2=\)	Раскроем скобку по формуле сокращенного умножения
\(=(\sqrt{85})^2-2\sqrt{85}+1=\)	Воспользуемся главным свойством квадратного корня
\(=85-2\sqrt{85}+1=\)	Приведем подобные слагаемые
\(=86-2\sqrt{85}\)	Запишем ответ

Ответ:

Конечно, при работе с квадратным корнем нужно использовать и другие свойства.

ПримерРешение:

\(5\sqrt{11} \cdot 2\sqrt{2}\cdot \sqrt{22}=\)		Перемножим числа без корня, а числа с корнем запишем под одним знаком, по свойству: \(\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}=\sqrt{a \cdot b}\)
\(=10 \sqrt {11 \cdot 2 \cdot 22}=10\sqrt{(22)^2} \)

Ответ: \(220\)

Алгоритм нахождения корня n-степени

Корень n-ой степени n√A действительного положительного числа А есть действительное положительное решение уравнений xn = A.

Как найти быстро сходящийся алгоритм корня в n-ой степени? Для этого нужно:

1. Вычислить начальное предположение x

2. Определить

3. Далее повторять пункт № 2 до момента, пока необходимая точность не будет достигнута.

Для нахождения квадратного корня итерационной формулы Герона служит частный случай, с подстановкой выглядит так:

n = 2 в шаг 2: x_k₊₁ = (x_k + A/x_k) / 2

Имеется несколько вариантов данного алгоритма. Один — как касательный метод Ньютона для нахождения нулей функций f(x). Сходится такой метод достаточно быстро, несмотря на то что является итерационным.

У этого метода скорость сходимости является квадратичной. Это указывает на то, что числа с верными разрядами в ответе будут удваиваться с каждой итерацией — другими словами, будет увеличиваться точность нахождения ответа с 1-го до 64-х разрядов, и будет требоваться только шесть итераций. Но следует помнить и о машинной точности.

Из всего этого можно сделать заключение, что в компьютерах данный алгоритм используется, как самый быстрый метод нахождения корней в квадрате.

Что касается больших значений n, то алгоритм здесь будет менее эффективным, поскольку потребует на каждом шагу таких вычислений:

Но такое вычисление выполняется при помощи алгоритма быстрого возведения в степень.

Извлечение квадратного корня из целых чисел. Пример 1.

Чтобы извлечь квадратный корень из целого числа мы будем циклично предпринимать одну и ту же последовательность действий: Подбери, Занеси, Вычти, Снеси, Удвой, Припиши. Сокращённо ПЗВ СУП — для запоминания: ПоЗоВи {гостей есть} СУП.

Пример 1: 763876.
Число разделяем на грани (по два разряда) от запятой: 7676. В числе три грани — значит в корне будет три разряда. Сначала старшая грань 76.

Подбираем наибольшее число от 1 до 9 такое, чтоб его квадрат был меньше, чем 76. Это число 8 (т.к. 8 × 8 = 64, а 9 × 9 = уже 81, то есть > 76).
Заносим 8 в ответ — это старший разряд ответа (сотни).
Вычитаем 64 из 76 — остаётся 12.
Сносим к 12-ти следующую грань — 38. Получается 1238.
Удваиваем то что в ответе — восьмёрку. Получается 16 — запишем 16 слева от 1238.
Приписываем к 16 справа коробочку для ещё одного разряда.

Снова

Подбираем наибольшее число от 1 до 9 такое, чтоб 16# × # было не больше, чем 1238. Это число 7 (т.к. 166 × 6 = 996 < 1238, 167 × 7 = 1169 < 1238, а 168 × 8 = 1344, то есть уже > 1238).
Заносим 7 в ответ — это следующий разряд ответа (десятки).
Вычитаем 167 × 7 из 1238 — остаётся 69.
Сносим к 69-ти следующую грань — 76. Получается 6976.
Удваиваем то, что в ответе — 87. Получается 174 — запишем 174 слева от 6976.
Приписываем к 174 справа коробочку для ещё одного разряда.